Программа вычисляющая число пи скачать

Программа вычисляющая число пи.

Обозначим радиус круга r, тогда четверть квадрата тоже будет квадратом(очевидно) со стороной r. Будем случайным образом выбирать точки в этом квадрате и считать количество точек, попавших в четверть круга. Благодаря теории вероятности мы знаем, что отношение попаданий в четверть круга к попаданиям 'в молоко' равно отношению площадей - пи/4. Вот, собственно, и весь алгоритм. Чем больше взятых наугад точек мы проверим, тем точнее будет отношение площадей. Вот простенькая программа на Паскале, считающая пи этим способом. Четыре первых знака требуют на моем PentiumII-300 около 5 минут.

Школьный алгоритм вычисления Пи В 1671 году Джеймс Грегори установил, что: Этот результат позволил Лейбницу получить очень простое выражение для PI, а именно: или, после умножения на 4: Просуммируйте этот ряд и Вы получите число PI. Однако, как говорил Козьма Прутков, 'нельзя объять необъятное', что, в применении к данному случаю, можно перефразировать так: нельзя просуммировать бесконечное число слагаемых за конечное время, каким бы быстрым компьютером мы не располагали. Слава Богу, этого и не требуется. Поскольку мы хотим найти не точное значение PI, а лишь его приближение с пятью верными десятичными знаками, нам достаточно просуммировать такое количество первых членов ряда, чтобы сумма всех оставшихся членов не превышала 10 -5 . Остался, правда, открытым вопрос о том, сколько же все-таки членов ряда нужно просуммировать, чтобы получить результат с требуемой точностью? Ответ на этот вопрос в 'общем виде' выходит далеко за рамки настоящего обсуждения. Это отдельная тема в курсах математического анализа и численных методов. К счастью, данный конкретный ряд позволяет найти очень простое правило, позволяющее определить момент, когда следует прекратить суммирование.

Дело в том, что ряд Грегори является знакопеременным и сходится равномерно (хотя и медленнее, чем хотелось бы). Это означает, что для любого нечетного n , сумма первых n членов ряда всегда дает верхнюю оценку для PI, а сумма n +1 первых членов ряда - нижнюю. Значит, как только разница между верхней и нижней оценками окажется меньше, чем требуемая точность, можно смело прекращать вычисления и быть уверенным, что как та, так и другая оценки отличаются от истинного значения PI не более, чем на 10 -5 . В качестве окончательного результата разумно взять среднее значение между полученными верхней и нижней оценками. Таким образом, можно предложить алгоритм, приведенный ниже. При реализации этого алгоритма на машине следует помнить, что ряд Грегори сходится достаточно медленно, и поэтому n может принимать довольно большие значения. Более серьезный подход. Для вычисления сколько-нибудь большого количества знаков пи предыдущий способ уже не годится. Но существует большое количество последовательностей, сходящихся к Пи гораздо быстрее.

Воспользуемся, например, формулой Гаусса: p = 12arctan 1 + 8arctan 1 - 5arctan 1 4 18 57 239. Доказательство этой формулы несложное, поэтому мы его опустим. Исходник программы, включающий в себя 'длинную арифметику' Программа вычисляет NbDigits первых цифр числа Пи. Функция вычисления arctan названа arccot, так как arctan(1/p) = arccot(p), но расчет происходит по формуле Тейлора именно для арктангенса, а именно arctan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - . x=1/p, значит arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + . Вычисления происходят рекурсивно: предыдущий элемент суммы делится и дает следующий. Конечно, это не самые эффективные способы вычисления числа пи.

Существует еще громадное количество формул. Например, формула Чудновского (Chudnovsky), разновидности которой используются в Maple. Однако в обычной практике программирования формулы Гаусса вполне хватает, поэтому эти методы не будут описываться в статье. Вряд ли кто-то хочет вычислять миллиарды знаков пи, для которых сложная формула дает большое увеличение скорости.